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初二数学一次函数学问点总结

更新时间:2019-07-10

  一次函数学问点总结 根基概念 1、变量:正在一个变化过程中能够取分歧数值的量。常量:正在一个变化过程中只能取统一数值的量。 、变量: 常量: 常量 例题:正在匀速活动公式 s = vt 中, v 暗示速度, t 暗示时间, s 暗示正在时间 t 内所走的程,则变量是________,常量 是_______。正在圆的周长公式 C=2πr 中,变量是________,常量是_________. 2、函数:一般的,正在一个变化过程中,若是有两个变量 x 和 y,而且对于 x 的每一个确定的值,y 都有独一确定 、函数: 的值取其对应,那么我们就把 x 称为自变量,把 y 称为因变量,y 是 x 的函数。 *判断 Y 能否为 X 的函数,只需看 X 取值确定的时候,Y 能否有独一确定的值取之对应 例题:下列函数(1)y=πx (2)y=2x-1 1 (3)y= x (4)y=2 -3x -1 (5)y=x -1 中,是一次函数的有( 2 ) (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 3、定义域:一般的,一个函数的自变量答应取值的范畴,叫做这个函数的定义域。 、定义域: 4、确定函数定义域的方式: 、确定函数定义域的方式: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)现实问题中,函数定义域还要和现实环境相合适,使之成心义。 例题:下列函数中,自变量 x 的取值范畴是 x≥2 的是( ) A.y= 2 ? x 函数 y = 已知函数 y = ? B.y= 1 x?2 C.y= 4 ? x 2 D.y= x + 2 · x ? 2 x ? 5 中自变量 x 的取值范畴是___________. 1 x + 2 ,当 ? 1 x ≤ 1 时,y 的取值范畴是 ( ) 2 5 3 3 5 3 5 3 5 A. ? y ≤ B. y C. ≤ y D. y ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2 5、函数的图像 、 一般来说,对于一个函数,若是把自变量取函数的每对对应值别离做为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由 这些点构成的图形,就是这个函数的图象. 函数解析式 解析式: 6、函数解析式:用含有暗示自变量的字母的代数式暗示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步调 、 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值) ; 第二步:描点(正在曲角坐标系中,以自变量的值为横坐标,响应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的 各点) ;第三步:连线(按照横坐标由小到大的挨次把所描出的各点用滑润曲线、函数的暗示方式 、 列表法:一目了然,利用起来便利,但列出的对应值是无限的,不易看出自变量取函数之间的对应纪律。 解析式法:简单了然,可以或许精确地反映整个变化过程中自变量取函数之间的相依关系,但有些现实问题中的 函数关系,不克不及用解析式暗示。 图象法:抽象曲不雅,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、反比例函数及性质 、反比例函数及性质 一般地,形如 y=kx(k 是,k≠0)的函数叫做反比例函数,此中 k 叫做比例系数. 注:反比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为 1 ③ b 取零 当 k0 时,曲线 y=kx 颠末三、一象限,从左向左上升,即随 x 的增大 y 也增大;当 k0 时, 曲线 y=kx 颠末 二、四象限,从左向左下降,即随 x 增大 y 反而减小. (1) 解析式 解析式:y=kx(k 是,k≠0) (2) 必过点 (0,0)(1,k) 必过点: 、 (3) :k0 时,图像颠末一、三象限;k0 时, 图像颠末二、四象限 : (4) 增减性:k0,y 随 x 的增大而增大;k0,y 随 x 增大而减小 增减性 (5) 倾斜度 倾斜度:k越大,越接近 y 轴;k越小,越接近 x 轴 例题:.反比例函数 y = (3m + 5) x ,当 m 例题 若 y = x + 2 ? 3b 是反比例函数,则 b 的值是 A.0 B. 时,y 随 x 的增大而增大. ( D. ? ) 2 3 C. ? 2 3 3 2 .函数 y=(k-1)x,y 随 x 增大而减小,则 k 的范畴是 ( ) A. k 0 B. k 1 C. k ≤ 1 D. k 1 东方超市鲜鸡蛋每个 0.4 元,那么所付款 y 元取买鲜鸡蛋个数 x(个)之间的函数关系式是_______________. 平行四边形相邻的两边长为 x、y,周长是 30,则 y 取 x 的函数关系式是__________. 10、一次函数及性质 、一次函数及性质 一般地,形如 y=kx+b(k,b 是,k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时,y=kx+b 即 y=kx,所以说反比例 函数是一种特殊的一次函数. 注:一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取肆意实数 一次函数 y=kx+b 的图象是颠末(0,b)和(- b ,0)两点的一条曲线,我们称它为曲线 y=kx+b,它能够看做 k 由曲线 y=kx 平移b个单元长度获得.(当 b0 时,向上平移;当 b0 时,向下平移) 解析式:y=kx+b(k、b 是,k ≠ 0) (1)解析式 (2)必过点: 必过点 (0,b)和(- b ,0) k (3): k0,图象颠末第一、三象限;k0,图象颠末第二、四象限 : b0,图象颠末第一、二象限;b0,图象颠末第三、四象限 ?k 0 ? 曲线颠末第一、二、三象限 ? ?b 0 ?k 0 ? 曲线颠末第一、二、四象限 ? ?b 0 ?k 0 ? 曲线颠末第一、三、四象限 ? ?b 0 ?k 0 ? 曲线颠末第二、三、四象限 ? ?b 0 (4)增减性: k0,y 随 x 的增大而增大;k0,y 随 x 增大而减小. 增减性 倾斜度:k越大,图象越接近于 y 轴;k越小,图象越接近于 x 轴. (5)倾斜度 图像的平移: (6)图像的平移 当 b0 时,将曲线 y=kx 的图象向上平移 b 个单元; 当 b0 时,将曲线 y=kx 的图象向下平移 b 个单元. m ?1 例题:若关于 x 的函数 y = ( n + 1) x 是一次函数,则 m= ,n ) . .函数 y=ax+b 取 y=bx+a 的图象正在统一坐标系内的大致准确的是( 将曲线 个单元, 获得曲线 ; 将曲线 个单元, 获得曲线 . 若曲线 y = ? x + a 和曲线 y = x + b 的交点坐标为( m,8 ),则 a + b = ____________. 已知函数 y=3x+1,当自变量添加 m 时,响应的函数值添加( A.3m+1 B.3m C.m D.3m-1 ) 11、一次函数 y=kx+b 的图象的画法 、 + 的图象的画法. 按照几何学问:颠末两点能画出一条曲线,而且只能画出一条曲线,即两点确定一条曲线,所以画一次函数 的图象时,只需先描出两点,再连成曲线即可.一般环境下:是先拔取它取两坐标轴的交点: (0,b) , 即横坐标或纵坐标为 0 的点. . b0 颠末第一、二、三象限 b0 颠末第一、三、四象限 b=0 颠末第一、三象限 k0 图象从左到左上升,y 随 x 的增大而增大 颠末第一、二、四象限 颠末第二、三、四象限 颠末第二、四象限 k0 图象从左到左下降,y 随 x 的增大而减小 若 m<0, n>0, 则一次函数 y=mx+n 的图象不颠末 A.第一象限 B. 第二象限 ( ) D.第四象限 C.第三象限 12、反比例函数取一次函数图象之间的关系 、 一次函数 y=kx+b 的图象是一条曲线,它能够看做是由曲线 y=kx 平移b个单元长度而获得(当 b0 时,向上 平移;当 b0 时,向下平移). 13、 13、曲线)两曲线)两曲线)两曲线、用待定系数法确定函数解析式的一般步调: 、用待定系数法确定函数解析式的一般步调: (1)按照已知前提写出含有待定系数的函数关系式; (2)将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中获得以待定系数为未知数的方程; (3)解方程得出未知系数的值; (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 15、 15、一元一次方程取一次函数的关系 任何一元一次方程到可认为 ax+b=0(a,b 为,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可认为:当 某个一次函数的值为 0 时,求响应的自变量的值. 从图象上看,相当于已知曲线 y=ax+b 确定它取 x 轴的交点的横 坐标的值. 16、 16、一次函数取一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可认为 ax+b0 或 ax+b0(a,b 为,a≠0)的形式,所以解一元一次不 等式能够看做:当一次函数值大(小)于 0 时,求自变量的取值范畴. 17、 17、一次函数取二元一次方程组 (1)以二元一次方程 ax+by=c 的解为坐标的点构成的图象取一次函数 y= ? (2) 二元一次方程组 ? 交点. a c x + 的图象不异. b b ?a1 x + b1 y = c1 a c a c 的解能够看做是两个一次函数 y= ? 1 x + 1 和 y= ? 2 x + 2 的图象 b1 b1 b2 b2 ?a 2 x + b2 y = c 2 一 次 函 数 自变量 x 和因变量 y 有如下关系: y=kx+b (k 为肆意不为零实数,b 为肆意实数) 则此时称 y 是 x 的一次函数。 出格的,当 b=0 时,y 是 x 的反比例函数。 即:y=kx (k 为肆意不为零实数) 定义域:自变量的取值范畴,自变量的取值应使函数成心义;要取现实成心义。 一次函数的图象特征和性质: b0 b0 b=0 k0 颠末第一、二、三象限 颠末第一、三、四象限 颠末第一、三象限 k0 图象从左到左上升,y 随 x 的增大而增大 颠末第一、二、四象限 颠末第二、三、四象限 颠末第二、四象限 图象从左到左下降,y 随 x 的增大而减小 一次函数的性质 1.y 的变化值取对应的 x 的变化值成反比例,比值为 k 即:y=kx+b(k≠0) (k 为肆意不为零的实数 b 取任何实数) 2.当 x=0 时,b 为函数正在 y 轴上的截距。 3.k 为一次函数 y=kx+b 的斜率,k=tg 角 1(角 1 为一次函数图象取 x 轴正标的目的夹角) 形。取。象。交。减 一次函数的图像及性质 1.做法取图形:通过如下 3 个步调 (1)列表[一般取两个点,按照两点确定一条曲线)连线,能够做出一次函数的图像——一条曲线。因而,做一次函数的图像只需晓得 2 点,并 连成曲线即可。(凡是找函数图像取 x 轴和 y 轴的交点) 2.性质:(1)正在一次函数上的肆意一点 P(x,y),都满脚等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数 取 y 轴交点的坐标老是(0,b),取 x 轴老是交于(-b/k,0)反比例函数的图像老是过原点。 3.函数不是数,它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 4.k,b 取函数图像所正在象限: y=kx 时 当 k>0 时,曲线必通过一、三象限,y 随 x 的增大而增大; 当 k<0 时,曲线必通过二、四象限,y 随 x 的增大而减小。 y=kx+b 时: 当 k0,b0, 这时此函数的图象颠末一,二,三象限。 当 k0,b0, 这时此函数的图象颠末一,三,四象限。 当 k0,b0, 这时此函数的图象颠末二,三,四象限。 当 k0,b0, 这时此函数的图象颠末一,二,四象限。 当 b>0 时,曲线必通过一、二象限; 当 b<0 时,曲线必通过三、四象限。 出格地,当 b=0 时,曲线)暗示的是反比例函数的图像。 这时,当 k>0 时,曲线只通过一、三象限;当 k<0 时,曲线、特殊关系 当平面曲角坐标系中两曲线平行时,其函数解析式中 K 值(即一次项系数)相等 当平面曲角坐标系中两曲线垂曲时,其函数解析式中 K 值互为负倒数(即两个 K 值的乘积为-1) 确定一次函数的表达式 已知点 A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点 A、B 的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为 y=kx+b。 (2)由于正在一次函数上的肆意一点 P(x,y),都满脚等式 y=kx+b。所以能够列出 2 个方程: y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ② (3)解这个二元一次方程,获得 k,b 的值。 (4)最初获得一次函数的表达式。 一次函数正在糊口中的使用 1.其时间 t 必然,距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度 f 必然,水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池华夏有水量 S。g=S-ft。 常用公式(不全,但愿有人弥补) 1.求函数图像的 k 值:(y1-y2)/(x1-x2) 2.求取 x 轴平行线.求取 y 轴平行线-x2)取(y1-y2)的平方和) 5.求两一次函数式图像交点坐标:解两函数式 两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令 y1=y2 得 k1x+b1=k2x+b2 将解得的 x=x0 值代回 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 获得 y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 取 y2=k2x+b2 交点坐 标 6.求肆意 2 点所连线 点的连线的一次函数解析式: (X-x1)/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其平分母为 0,则为 0) kb + + 正在一、二、三象限 + - 正在一、三、四象限 - + 正在一、二、四象限 - - 正在二、三、四象限 8.若两条曲线.如两条曲线 使用 一次函数 y=kx+b 的性质是:(1)当 k0 时,y 随 x 的增大而增大;(2)当 k0 时,y 随 x 的增 大而减小。操纵一次函数的性质可处理下列问题。 一、确定字母系数的取值范畴 例 1. 已知反比例函数 ,则当 m=______________时,y 随 x 的增大而减小。 解:按照反比例函数的定义和性质,得 且 m0,即 且 ,所以 。 二、比力 x 值或 y 值的大小 例 2. 已知点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数 y=3x+4 的图象上的两个点,且 y1y2,则 x1 取 x2 的大小关系是( ) A. x1x2 B. x1x2 C. x1=x2 D.无法确定 解:按照题意,知 k=30,且 y1y2。按照一次函数的性质“当 k0 时,y 随 x 的增大而增大”,得 x1x2。故选 A。 三、判断函数图象的 例 3. 一次函数 y=kx+b 满脚 kb0,且 y 随 x 的增大而减小,则此函数的图象不颠末( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解:由 kb0,知 k、b 。由于 y 随 x 的增大而减小,所以 k0。所以 b0。故一次函数 y=kx+b 的图象颠末第二、三、四象限,不颠末第一象限。故选 A . 典型例题: 例 1. 一个弹簧,不挂物体时长 12cm,挂上物体后会伸长,伸长的长度取所挂物体的质量成反比例. 若是挂上 3kg 物体后,弹簧总长是 13.5cm,求弹簧总长是 y(cm)取所挂物体质量 x(kg)之间的函数 关系式.若是弹簧最大总长为 23cm,求自变量 x 的取值范畴. 阐发:此题由物理的定性问题为数学的定量问题,同时也是现实问题,其焦点是弹簧的总长是 空载长度取负载后伸长的长度之和,而自变量的取值范畴则可由最大总长→最大伸长→最大质量及 现实的思来处置. 解:由题意设所求函数为 y=kx+12 则 13.5=3k+12,得 k=0.5 ∴所求函数解析式为 y=0.5x+12 由 23=0.5x+12 得:x=22 ∴自变量 x 的取值范畴是 0≤x≤22 【考点指要】 一次函数的定义、图象和性质正在中考申明中是 C 级学问点,出格是按照问题中的前提求函数解析式 和用待定系数法求函数解析式正在中考申明中是 D 级学问点.它常取反比例函数、二次函数及方程、 方程组、不等式分析正在一路,以选择题、填空题、解答题等题型呈现正在中考题中,大约拥有 8 分左 左.处理这类问题常用到分类会商、数形连系、方程和等数学思惟方式. 例 2.若是一次函数 y=kx+b 中 x 的取值范畴是-2≤x≤6,响应的函数值的范畴是-11≤y≤9.求此函数的 的解析式。 解:(1)若 k>0,则能够列方程组 -2k+b=-11 6k+b=9 解得 k=2.5 b=-6 ,则此时的函数关系式为 y=2.5x—6 (2)若 k<0,则能够列方程组 -2k+b=9 6k+b=-11 解得 k=-2.5 b=4,则此时的函数解析式为 y=-2.5x+4 【考点指要】 此题次要调查了学生对函数性质的理解,若 k>0,则 y 随 x 的增大而增大;若 k<0,则 y 随 x 的 增大而减小。 一次函数解析式的几品种型 ①ax+by+c=0[一般式] ②y=kx+b[斜截式] (k 为曲线斜率,b 为曲线纵截距,反比例函数 b=0) ③y-y1=k(x-x1)[点斜式] (k 为曲线)为该曲线所过的一个点) ④(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式] ((x1,y1)取(x2,y2)为曲线上的两点) ⑤x/a-y/b=0[截距式] (a、b 别离为曲线正在 x、y 轴上的截距) 解析式表达局限性: ①所需前提较多(3 个); ②、③不克不及表达没有斜率的曲线(平行于 x 轴的曲线); ④参数较多,计较过于烦琐; ⑤不克不及表达平行于坐标轴的曲线和过圆点的曲线。 倾斜角:x 轴到曲线的角(曲线取 x 轴正标的目的所成的角)称为曲线的倾斜 角。设一曲线的倾斜角为 a,则该曲线的斜率 k=tg(a) 形如 y=kx(k 为,且 k 不等于 0),y 就叫做 x 的反比例函数. 反比例函数属于一次函数,反比例函数是一次函数的特殊形式. 即当一次函数 y=kx+b 若 b=0,则此为反比例函数. 图像做法 1.列表 2.描点 3.连线(必然要颠末坐标轴的原点) 其次,反比例函数的图像是颠末原点和(1,k)[或(2,2k),(3,3k)等]两点的一条曲线。 其他:当 k0 时,它的图像(除原点外)正在第一、三象限,y 随 x 的增大而增大 当 k0 时,它的图像(除原点外)正在第二、四象限,y 随 x 的增大而减小 总结:y=kx(k 不等于 0) 而以方程的角度来说,只需将反比例函数上的一个点的坐标给出,就能确定这个解析式 若求反比例函数取一次函数,二次函数或反比例函数的交点坐标,就是将两个已知的方程联立成方 程组 求出其 x,y 值便可 反比例函数正在线性规划问题中表现的力量也是无限的 好比斜率问题就取决于 K 值,当 K 越大,则该函数图像取 x 轴的夹角越大,反之亦然 还有,Y=Kx 是 Y=K/x 图像的对称轴. 1)反比例:两种相联系关系的量,一种量变化,另一种量也跟着变化,若是这两种量相对应的两个数 的比值(也就是商)必然,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做成反比例关系. ①用 字母暗示:若是用字母 x 和 y 暗示两种相联系关系的量,用 k 暗示它们的比值,(必然)反比例关系可 以用以下关系式暗示: ②反比例关系两种相联系关系的量的变化纪律: 对于比值为负数的,即 y=kx(k0),此时的 y 取 x,同时扩大, 同时缩小, 比值不变. 例如: 汽车每小时行驶的速度必然, 所行的程和所用的时间能否成反比例? 以上各类商都是必然的,那么被除数和除数. 所暗示的两种相联系关系的量,成反比例关系. 留意: 正在判断两种相联系关系的量能否成反比例时应留意这两种相联系关系的量,虽然也是一种量,跟着另一种的 变化而变化,但它们相对应的两个数的比值不必然,它们就不克不及成反比例. 例如:一小我的春秋 和它的体沉,就不克不及成反比例关系,正方形的边长和它的面积也不成反比例关系. 黄金朋分点 把一条线段朋分为两部门,使此中一部门取全长之比等于另一部门取这部门之比。其比值是一个无 理数,用分数暗示为(√5-1)/2,取其前三位数字的近似值是 0.618。因为按此比例设想的制型十分美 丽,因而称为黄金朋分,也称为中外比。这个朋分点就叫做黄金朋分点。



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